Tales e a matemática dedutiva

Uma das civilizações que mais se destacou na matemática foi sem dúvida a civilização grega. A beleza helenística com que tratavam a ciência dos números sempre será digna de admiração e se hoje a matemática possui caráter científico, isso se deve em grande parte ao trabalho de jovens sábios que assim como vários outros, perceberam a grandeza da mais bela estrutura lógica criada pelo homem, a nossa bela matemática.

O primeiro grande matemático greco foi Tales de Mileto, aquele que é considerado um dos maiores sábios da antiguidade, úm visionário que nos mostrou os verdadeiros caminhos que a matemática deveria tomar como ciência dedutiva. Vindo de uma família nobre, Tales viajou o mundo em busca de conhecimento, se interesando particularmente pela matemática. Depois de anos de estudo ele percebeu que a matemática devia ter seu embassamento bem definido para seus teoremas não sejam contestados, ele percebeu que as verdades matemáticas deviam ser provadas usando a ferramenta mais irrefutável que se conhecia: A Lógica. Hoje quando estudamos e demonstramos teoremas e verdades matemáticas estamos usando lógica para mostrar que determinada propriedade é verdade. Para provar seus teoremas, Tales primeiramente admitiu que existem verdade que são evidentes por si mesmas, não sendo necessário prová-las. A partir dessas "noções comuns" ele mostrou várias propriedades da geometria como a que diz que em um triângulo isóceles  os âgulos da base são iguais e aquele que ficou conhecido como teorema de Tales("retas paralelas cortadas por transversais determinam segmentos proporcionais"). A partir de Tales, a matemática sofroeu grandes transformações, e suas ideias inspiraram outros a descrobrir mais e mais teoremas que hoje são ferramentas para os outros campos da ciência como o cálculo integral e diferencial elaborado por Leibniz e Newton que possibilitou o entendimento do mundo e o surgimento de várias tecnologias utilizadas hoje, toda área da matemática hoje possui uma estrutura lógica que a torna inabalável, tudo graças as ideias de um jovem greco da antiguidade.

                                                         Busto de Tales de Mileto

Existem vários episódios da história que são atribuídos a Tales, como o de que ele conseguiu prever um eclipse, ou um outro em que ele usou seu conhecimento matemático para prever quando a próxima grande safra de oliva viria e semanas antes dessa boa safra, comprou todas as prensas de sua cidades; quando a colheita chegou todos tiveram de alugar prensas com o esperto Tales que dizia que matemáticos quando querem, conseguem enriquecer tanto quanto os reis.

Não se sabe ao certo a data de sua morte, suspeita-se que tenha morrido já um velho, aos seus 90 anos de idade. Resta-nos apenas agradecer ao grande Tales pelo seu legado de conhecimento que tanto influenciou o pensamento humano.

teorema de tales

Matemática e....Biologia

Uma das grandes aplicações do conhecimento matemático na atualidade é a biologia. Pode soar estranho para alguns, mas nas ciências biológicas a matemática vem deixando de ser um terreno restrito.
Um dos primeiros cientistas a apresentar uma abordagem matemática sobre questões biológicas foi o abade austríaco Gregor Mendel, que é considerado hoje o pai da genética, a parte da Biologia que estuda as relações entre os fragmentos de DNA que contém uma determinada informação (genes) e seus efeitos no indivíduo. De uma maneira simples e sucinta, Mendel elaborou um estudo sobre ervilhas-de-cheiro e observou que algumas de suas características obedeciam a algum tipo de padrão específico, não uma equação ou função, mas algo um pouco mais flexível, essa "flexibilidade" é a base da combinatória, ramo da matemática que estuda os eventos aleatórios.
A combinatória envolve desde combinações(De quantas maneiras um evento ocorre), passando pela teoria das probabilidades(Quais as chances de um determinado evento ocorrer) até a teoria dos grupos(um ramo da matemática avançada que exije bastante abstração, sendo estudada em curso de ensino superior).
O que Mendel verificou foi que algumas características das ervilhas se preservavam ao longo das gerações em padrões específicos, por exemplo a cor das ervilhas(verde ou amarelas), o aspecto de sua superfície(lisas ou rugosas), entre outras que ocorriam aos pares. A partir disso ele elaborou esquemas e estudos matematicos para definir o que mais tarde seria conhecido como "heranças mendelianas". Mas como funciona a teoria das probabilidades usada por Mendel?
Vejamos um exemplo:
Suponha que tenhamos um dado honesto(não-viciado) de seis faces numeradas de um a seis, qual a probabilidade de jogando o dado obtermos face "dois" virada para cima?

Para responder essa pergunta utilizamos a definição de probabilidade:

Probabilidade = número de eventos favoráveis/número de eventos possíveis
Assim, temos:

P = 1/6, pois existem seis possibilidades(seis faces) e apenas uma possibilidade de sair o dois


Mendel usou um raciocínio semelhante, ele estabeleceu que as características estudadas por ele dependiam de dois fatores, sendo que um deles "domina" o outro, por exemplo:
Seja V o fator "cor verde" e A o fator "cor amarela". Então, temos:

Geração P                VV     x       AA

Geração F¹      VA       VA        VA       VA

Geração F²      VV       VA        VA       AA

Primeiro Mendel cruzou duas ervilhas com características oposta( no caso, verdes ou amarelas) que ele julgou puras, pois elas foram obtidas a partir de sucessivas autopolinizações e todas apresentaram a mesma característica. Depois, a partir do cruzamento entre elas(Geração P) todas as ervilhas nasceram verdes.
Após um segundo cruzamento, entre as mudas das ervilhas da segunda geração(F¹), foram obtidas ervilhas amarelas e verdes, sendo 3 verdes e 1 amarela.
Mendel repetiu todo o processo várias vezes e a razão 3:1 sempre aparecia. Desse modo ele concluiu que o fator "verde" domina o fator "amarelo" e a chance de ocorrer uma ervilha verde era de 3/4 contra 1/4 da ervilha amarela.

Mendel foi um cientista excepcional, além de ter sido o fundador da genética,foi também pioneiro em dar uma abordagem matemática para uma questão que vinha atormentando as mentes mais brilhantes de sua época, a herança das características dos pais por parte dos filhotes.

Aqui cabem duas ressalvas: Primeiro, que Mendel provou que matemática é muito mais que fórmulas e algoritmos, é uma ciência com as mais diversas aplicações em campos ireestritos, e segundo, que Mendel era um homem religioso e nem por isso desqualificou a ciência como forma de se entender o mundo que nos cerca, ao contrário disso, ele a abraçou como uma verdadeira dádiva de Deus que deu ao homem a inteligência e acima de tudo a capaciade de aprender.

Mendel publicou sua obra em 1866, sete anos após Darwin publicar A Origem das Espécies, seu trabalho inicialmente foi lido por poucos,devido ao seu caráter quantitativo e estatístico, mas em 1900 foi redescoberto e hoje é lido por intelectuais dos mais diversos níveis como referência em metodologia científica. Sua obra é exemplo de como abordar uma questão científica de maneira clara e objetiva. No mosteiro onde realizou seus experimentos há uma estátua em sua homenagem e o jardim onde eles foram realizados está preservado até os dias de hoje.

                                                    Gregor Johan Mendel(1822-1884)

                                               características estudadas por Mendel

Prova mirabolante

Hoje vou falar de uma das demonstrações mais complicadas e mais interessantes da matemática: A prova de que 1+1=2!!
É pode parecer impressionante, mas existe uma tentativa de prova escrita em 1910, sua história é muito interesante:

No início do século XX dois matemáticos, Bertrand Russel e Alfred North Whitehead tentaram reescrever a matemática de uma maneira em que não houvessem paradoxos ou contradições, um "ideal" matemático onde tudo deve ser provado e aquilo que por sua vez não tem lógica, não poderia nem ser escrito.
Eles levaram anos para chegar a esse objetivo e em 1910 publicaram um livro em três volumes cobrindo todo o progresso deles até então. Apesar de na obra haver uma prova de que 1+1=2, no texto eles não chegaram de fato a provar que 1+1=2, pois mesmo com 300 páginas (sim 300) eles não conseguiram definir a adição como operação lógica.
Anos mais tarde um jovem matemático chamado Kurt Gödel mostrou que tal tentativa era inútil, já que, existem algumas coisas que devem ser admitidas como verdadeiras sem que haja prova(chamadas de axiomas).
Assim terminou a história da obra que possivelmente seria o mais completo tratado de matemática da história. Mas então de que adiantou todo esse empenho?
Simples, a lógica como a conhecemos hoje se desenvolveu em grande parte graças ao trabalho de Russel e Whitehead. Nas área da computação, onde a lógica é uma ferramenta importantíssima a obra de Russel assim como a de um outro inglês, este do século XIX, chamado George Boole são fonte de inspiração para vários programadores e cientistas computacionais em todo o mundo.

E pensar que tudo isso saiu da simples tentativa de provar que 1+1=2!!! Ah, a beleza da matemática...

                    capa do livro Principia Mathematica onde aparece a prova de que 1+1=2



abaixo segue um fragmento da prova:
(note que na última linha está escrito:"A partir dessa proposição se seguirá, quando a soma aritmética for definida, que 1+1=2.")

Instituto Militar de Engenharia

O instituto militar de engenharia(IME) é um dos maiores centros de formação de engenheiros
do Brasil, famoso por basicamente duas características:
1) A qualidade de seus cursos
2) A dificuldade de seu vestibular

Realmente prar prestar a prova do IME a estudante deve estar muito preprarado para realizar
provas de física, matemática, química, redação, português e inglês
pode parecer simples, mas eu garanto que as aparências enganam, as provas de física e química
possuem um forte caráter matemático e interpretativo, e a prova de matemática é incrivelmente difícil,(mas não é impossível) cada questão é um verdadeiro desafio, mas uma pessoa bem preparada consegue
ser aprovada.

Fica lançado o desafio, se quiser tentar a prova boa sorte e lembre-se o que o general Patton dizia:"Guerras são travadas com armas, mas são vencidas por homens", vá à luta e busque o seu objetivo...

                                         imagem do Instituto Militar de Engenharia(IME -RJ)

História da matemática(2)

Segue abaixo o link para o documentário da BBC story of maths,
uma excelente fonte de pesquisa sobre a história da matemática e suas aplicações
o documentário  esté legendado em português então não se preocupe com  o entendimento
http://www.youtube.com/watch?v=QJSIVTXvmLc

Dúvidas

Disponibilizarei resoluções de provas de vestibulares assim como algumas questões interessantes sobre matemática e física.Em breve no Matemática para sempre a mais bela.

Também estarei disponível para resolução de dúvidas sobre algumas das disciplinas.Mande sua dúvida, se estiver em meu alcance terei prazer em resolvê-la por apenas  R$5,00( BRINCADEIRA!!!! é de graça, não tenham medo de perguntar e resolver a sua questão).


E-mail para mandar sua dúvida:
principiamath@hotmail.com

"A Matemática é como um moinho de café que mói admiravelmente o que se lhe dá para moer, mas não devolve outra coisa senão o que se lhe deu." (Faraday)

História da Matemática

Esta parte do blog será especialmente destinada àqueles que querem entender mais sobre
a história por tras das fórmulas e teoremas matemáticos.
A matemática é uma ciência como todas as outras, os homens que à construiram assim como
nós tiveram suas paixões, seus amores, suas tragédias e realizações. Este espaço veio mostrar exatamente isso: que cientistas, especialmente os matemáticos, são pessoas acima de tudo
apaixonadas pelo que fazem e lutam pelos seus sonhos com toda a garra e coragem do ser humano.


Hoje falaremos um pouco sobre a matemática em si, como ela surgiu e o que é exatamente essa disciplina que tantos não gostam e tão poucos adoram.
A matemática (do grego μάθημα, transl. máthēma, "ciência"/"conhecimento"/"aprendizagem"; e μαθηματικός, transl. mathēmatikós, "apreciador do conhecimento") segundo o aurélio é " ciênica que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente". Essa é uma boa definição, já que, a matemática realmente lida com abstrações, coisas que voçê visualiza na sua mente, mas mesmo essa definição é incompleta. É difícil definir bem a matemática, talvez até impossível, mas é como eu li uma vez em livro "eu não sei o que é matemática, mas quando a vejo , a reconheço imediatamente".

Isso acontece principalmente porque a matemática é algo intrisceco do ser humano; a capacidade de contar, diferenciar quantidades é algo tão primitivo que já com pouquíssima idade já conseguimos
fazer isso. Uma criança, por mais jovem que seja consegue diferenciar um pote com biscoitos de um pote vazio e um pote com poucos biscoitos, se ela quiser um biscoito dificilmente irá escolher o pote vazio, pois ela intuitivamente sabe que se escolher esse pote não haverá biscoitos para ela.

Acredita-se que a matemática surgiu no egito, uma vez que o tratado sobre matemática mais antigo foi encontrado lá, mas ela surgiu de maneira independente em várias civilizações como os gregos, os maias, os sumérios, os indianos e os chineses. na maioria desses povos ela surgiu da necessidade de
medir terras, realizar comércio e construir habitações e templos(aí surgi a engenharia, uma das áreas do conhecimento que mais se utiliza da matemática).

Os egípcios aprenderam a usar os números para medir as coisas  com grande destreza, em especial para medir porções de terra. Como o rio nilo enchia de tempos em tempos, cabia aos escribas do faraó realizarem medições nas terras dos proprietários para que em caso de perdas na agricultura
estes teriam um abtimento na cobrança de impostos.

Destaca-se entre os egípcios  o uso da geometria(apesar de eles não a definirem formalmente como
parte da matemática) para a construção de templos , em especial as pirâmides que são um marco na história da humanidade e certamente uma das grandes maravilhas do mundo.

O seu sistema de numeração era decimal(algo natural, uma vez que nós temos dez dedos nas mãos)
e se distinguia de outros sistemas pela simbologia em que os números eram representados por objetos do cotidiano:



Era simples e fácil, mas tinha uma falha: não havia nesse sistema o que se chama de valor posicional de um número, ou seja, para representa o 9 usavam-se noves bastões e para reprensentar o 1234
usavam-se uma flor de lótus, dois rolos de corda, três calcanhares e quatro bastões.
Isso era extrememente inconveniente para se fazer cálculos, uma vez que operções do tipo:
536 x 27 = 14472 eram muito trabalhosas, o que nos leva a pensar quão habilidosos eram os escribas na arte de calcular.
Para multiplicações, eles usavam o método dos dobros que era feito dessa maneira:
Seja a operação 3 x 6. Para chegar ao resultado se realizava o seguinte algoritmo:
                                                      

                                                         3 x 6

 manter o menor fator e colocar 1 em baixo do maior, e drobar os valores colocados embaixo.Assim temos:                                           

                                                       3  x 6
                                                       3     1
                                                       6     2
                                                      12    4


agora, na coluna do maior fator escolhemos dois números cuja soma seja igual ao maior fator.Nesse caso escolhemos o 2 e o 4, pois 2+4=6.
depois verificar na coluna do menor fator os números que estão na mesma linha dos outros números
escolhidos anteriormente e somá-los. Assim temos:

                                                           6 corresponde ao 2
                                                          12 corresponde ao 4


Logo, 6 +12= 18, que é o resultado correto.

Outra coisa que os egípcios sabiam era que todo triângulo cujos lados eram: 3, 4 e 5 era retângulo
apesar de nunca entenderem  o por que dessa propriedade dos triângulos retângulos. Além disso eles já dispunham do conceito de frações, mas apenas as frações unitárias como 1/2, 1/3 ...
As frações maiores eram representadas como somas de frações unitárias, desse modo a fração 5/6 era representada como 1/2 + 1/3, fato que tinha lá suas falhas(imagine representar frações como 53/72 e você verá uma dessas falhas).

Todo esse conhecimento sobre a matemática egípcia  chegou até nós por meio de dois documentos:
O papiro de ahmes(rhind) e o papiro de moscou, pergaminhos feitos por escribas ensinando como fazer cáculos.
O papiro de Rhind por exemplo continha 85 problemas de aritmética e geometria, entre os quais se destaca um método para o cálculo do volume do tronco de uma pirâmide, figura que se encontra abaixo:

V = (h / 3) [ S₁ + S₂ + √(S₁ S₂) ].
Essa fórmula foi obtida posteriormente, mas no papiro de rhind(nome do egiptólogo de o encontrou no séc. XIX) contém a "receita" para calcular esse volume(algo do tipo:"pegue a base menor, multiplique por ela mesmo, depois faça a mesma coisa com  a base maior, some os dois produtos,
depois multiplique-os, some a raiz quadrada dessa multiplicação à soma anterior e ,finalmente multiplique pela terça parte da altura. aí está o valor do volume desse tronco").

No papiro de moscou se encontram mais problemas desse tipo.
Nota1: O nome "ahmes" se deve ao escriba que escreveu o papiro, não se sabe quem escreveu o papiro de moscou.
Nota2: Os problemas propostos contém as respostas, é nelas que se encronta a "receita do tronco de pirâmide.
Nota3: Os escribas eram servos especiais do faraó, não pagavam impostos, eram bancados pelo governo. Aposto que não existe lugar no mundo onde um matemático teve ou tem tanto prestígio
na história da ciência.

Aqui termina nosso pequeno passeio pela história da matemática acompanhe o blog para mais histórias sobre a rainha das ciências.